Определить массу и объем тела, ограниченного поверхностями V, если известна плотность z+x=2, y=2x, z=0, x=0, плот=x/3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем общую формулу массы тела, ограниченного поверхностями V:

M = ∫∫∫ ρ(x,y,z) dV

Здесь ρ(x,y,z) - функция плотности, dV - элемент объема.

Так как плотность дана в виде функции z+x=2, y=2x, z=0, x=0, плот=x/3, то мы можем записать ее в виде:

ρ(x,y,z) = x/3

Для области V заданных поверхностей имеем следующие пределы интегрирования:

0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 2
0 ≤ z ≤ 2

Следовательно, объем тела V равен:

V = ∫∫∫ dV = ∫0^1 ∫0^2 ∫0^2 dx dy dz = 122 = 4

Теперь подставим все в формулу массы M:

M = ∫∫∫ x/3 dV = ∫0^1 ∫0^2 ∫0^2 x/3 dx dy dz
M = (1/3) (1/2) (1^2) * (2^2) = 2/3

Следовательно, масса тела, ограниченного поверхностями V, равна 2/3, а объем равен 4.