Используя стандартное скалярное произведение в R3, выполните алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта над следующим множес- 1. Используя стандартное скалярное произведение в R3, выполните алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта над следующим множеством векторов:
x=(-4; -4; -2), y=(-2;-5;-4), z=(-1; 2; 7)
2. Пусть v=(28; -17; 0; 13). Найдите координаты вектора v в подпространстве W, порождённом векторами u1=(-1; -2; -1; 0), u2=(-1; 0; 1; 1), u3=(8; -5; 2; 6). Заметьте, что векторы u1, u2, u3 ортогональны в смысле стандартного скалярного произведения в пространстве R4.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Выполним алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта:

Пусть u1 = x = (-4, -4, -2), u2 = y = (-2, -5, -4), u3 = z = (-1, 2, 7)

Нормируем первый вектор:
v1 = u1 / ||u1|| = (-4/6, -4/6, -2/6) = (-2/3, -2/3, -1/3)

Найдём ортогональную проекцию вектора y на v1:
proj_v1(u2) = (u2v1) / (v1v1) v1 = ((-2(-2/3) + (-5(-2/3)) + (-4(-1/3))) / ((-2/3)(-2/3) + (-2/3)(-2/3) + (-1/3)(-1/3)) (-2/3, -2/3, -1/3)
= (4/3 + 10/3 - 4/3) / (4/9 + 4/9 + 1/9) (-2/3, -2/3, -1/3)
= 10/3 / 1 (-2/3, -2/3, -1/3)
= (-20/9, -20/9, -10/9)

Вычитаем проекцию из вектора y:
u2_ort = u2 - proj_v1(u2) = (-2, -5, -4) - (-20/9, -20/9, -10/9) = (-2 + 20/9, -5 + 20/9, -4 + 10/9)
= (-2/9, -25/9, -26/9)

Нормируем второй ортогональный вектор:
v2 = u2_ort / ||u2_ort|| = (-2/9/sqrt(2^2 + 25^2 + 26^2), -25/9/sqrt(2^2 + 25^2 + 26^2), -26/9/sqrt(2^2 + 25^2 + 26^2))

Найдём ортогональную проекцию вектора z на v1 и v2:
proj_v1(u3) = (u3v1) / (v1v1) v1 = ((-1(-2/3) + 2(-2/3) + 7(-1/3) / ((-2/3)(-2/3) + (-2/3)(-2/3) + (-1/3)(-1/3)) (-2/3, -2/3, -1/3)
= (2/3 - 4/3 - 7/3) / (4/9 + 4/9 + 1/9) (-2/3, -2/3, -1/3)
= (-9/3) / 3 (-2/3, -2/3, -1/3)
= (6/3, 6/3, 3/3)
= (2, 2, 1)

proj_v2(u3) = (u3v2) / (v2v2) v2 = ((-1(-2/9) + 2(-25/9) + 7(-26/9)) / ((-2/9)^2 + (-25/9)^2 + (-26/9)^2) (-2/9, -25/9, -26/9)
= ((2/9) - (50/9) - (182/9)) / ((4/81) + (625/81) + (676/81)) (-2/9, -25/9, -26/9)
= (-230/9) / 1305/81 (-2/9, -25/9, -26/9)
= (-230/9) / (1305/81) (-2/9, -25/9, -26/9)
= ((-230/9) (81/1305) (-2/9, -25/9, -26/9)
= (-230/9) / (170) (-2/9, -25/9, -26/9)
= (-230/9) / (170) (-2/9, -25/9, -26/9)
= (460/1530, 5750/1530, 5980/1530)
= (40/153, 115/306, 598/765)

Вычитаем проекции из вектора z:
u3_ort = u3 - proj_v1(u3) - proj_v2(u3) = (-1, 2, 7) - (2, 2, 1) - (40/153, 115/306, 598/765)
= (-1 - 2 - 40/153, 2 - 2 - 115/306, 7 - 1 - 598/765)
= (-305/153 - 40/153, 612/306 - 115/306, 765/765 - 598/765)
= (-345/153, 497/306, 167/765)

Нормируем третий ортогональный вектор:
v3 = u3_ort / ||u3_ort|| = (-345/153/sqrt(345^2 + 497^2 + 167^2), 497/306/sqrt(345^2 + 497^2 + 167^2), 167/765/sqrt(345^2 + 497^2 + 167^2))

Таким образом, получаем ортонормированный базис v1, v2, v3.

Найдём координаты вектора v=(28, -17, 0, 13) в подпространстве W, порождённом векторами u1=(-1, -2, -1, 0), u2=(-1, 0, 1, 1), u3=(8, -5, 2, 6):

v = a1u1 + a2u2 + a3*u3

Сначала найдём коэффициенты a1, a2, a3, используя ортогональность векторов u1, u2, u3:

a1 = (vu1) / (u1u1) = (28(-1) + (-17)(-2) + 0(-1) + 130) / ((-1)(-1) + (-2)(-2) + (-1)(-1) + 00)
= (-28 + 34) / (1 + 4 + 1)
= 6 / 6
= 1

a2 = (vu2) / (u2u2) = (28(-1) + (-17)0 + 01 + 131) / ((-1)(-1) + 00 + 11 + 11)
= (-28 + 13) / (1 + 1)
= -15 / 2
= -7.5

a3 = (vu3) / (u3u3) = (288 + (-17)(-5) + 02 + 136) / (88 + (-5)(-5) + 22 + 66)
= (224 + 85 + 0 + 78) / (64 + 25 + 4 + 36)
= 387 / 129
= 3

Таким образом, координаты вектора v в подпространстве W: (1, -7.5, 3)