На единичной окружности наудачу выбраны 2 точки. Найти математическое ожидание квадрата длины хорды, соединяющей эти точки.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть (O) - центр окружности, (A) и (B) - выбранные точки на окружности, а (X) - середина хорды (AB). Тогда длина хорды (AB) равна длине отрезка (OX).

Пусть (\alpha) - угол между векторами (OA) и (OB). Тогда длина хорды (AB) равна (2 \sin(\frac{\alpha}{2})), так как угол вписанный и его удвоенный дуга равны.

Математическое ожидание длины хорды равно:
[E(2\sin(\frac{\alpha}{2})) = 2E(\sin(\frac{\alpha}{2}))]

Так как (\alpha) - случайная величина равномерно распределенная на интервале от 0 до (2\pi), то:
[E(\sin(\frac{\alpha}{2})) = \frac{1}{\pi} \int{0}^{2\pi} \sin(\frac{\alpha}{2})d\alpha = \frac{1}{\pi} [-2\cos(\frac{\alpha}{2})]^0{2\pi} = \frac{1}{\pi} [-2\cos(\pi) + 2\cos(0)] = \frac{4}{\pi}]

Таким образом, математическое ожидание квадрата длины хорды равно:
[E(4\sin^2(\frac{\alpha}{2})) = 4E(\sin^2(\frac{\alpha}{2})) = 4E(\frac{1-\cos(\alpha)}{2}) = 4*\frac{1}{2} = 2]