Задача по геометрии на тему методов площадей (8класс) На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты точки M и N так , что AM :CM = 2:3 , BN:NC=4:5.Площадь треугольника AMN равна 11. Найдите площадь треугольника ABC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть S1 - площадь треугольника АВC, S2 - площадь треугольника АМС, S3 - площадь треугольника МBN, S4 - площадь треугольника ANC.

Тогда площадь треугольника ABC можно найти как сумму площадей треугольников AMN, S2, S3 и S4:
S1 = S2 + S3 + S4 + 11.

Из условия задачи, мы знаем, что AM : CM = 2 : 3, т.е. S2 = 2/5S1 и BN : CN = 4 : 5, т.е. S3 = 4/9S1.

Также мы знаем, что S2 + S3 + S4 + 11 = S1, поэтому подставим найденные ранее значения и получим:
2/5S1 + 4/9S1 + S4 + 11 = S1,
S1*(2/5 + 4/9) + S4 + 11 = S1,
63S1/45 + S4 + 11 = S1,
S4 = S1 - 63S1/45 - 11.

Таким образом, чтобы найти площадь треугольника ABC достаточно найти S1. Подставляем найденное значение S4 в выражение для S1:
S1 = S2 + S3 + 11 + S4 = 2/5S1 + 4/9S1 + 11 + S1 - 63S1/45 - 11,
45S1 = 18S1 + 20S1 + 495 - 63S1,
45S1 = 46S1 + 495,
S1 = 495.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 495.