В первом ящике 3 белых и 1 чёрный шар, во втором 3 белых и 2 чёрных шара, из каждого вынимают по 2 наугад. ξ =кол-во вытащенных чёрных шаров
N=кол-во оставшихся белых в первой урне
Найти коэф кориэляции между (3*ξ - 1) и (2N)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала определим все возможные исходы вытаскивания шаров из каждой урны.

Из первой урны можно вытащить 2 белых шара и чёрный шар, либо 2 белых и белый шар:
1) вероятность вытащить 2 белых и чёрный шар: (3/4) (2/3) = 1/2
2) вероятность вытащить 2 белых и белый шар: (3/4) (2/3) = 1/2

Из второй урны можно вытащить 2 белых шара и чёрный шар, либо 2 белых и 2 чёрных шара:
1) вероятность вытащить 2 белых и чёрный шар: (3/5) (2/4) = 3/10
2) вероятность вытащить 2 белых и 2 чёрных шара: (3/5) (2/4) = 3/10

Теперь найдем математическое ожидание количества чёрных шаров, уже вынутых из каждой урны:

E(ξ) = 1(1/2) + 1(1/2) + 1(3/10) + 2(3/10) = 7/5

Также найдем математическое ожидание количества оставшихся белых шаров в первой урне:

E(N) = 2(1/2) + 1(1/2) + 0*(3/10) = 2.1

Теперь найдем ковариацию между случайной величиной 3*ξ - 1 и 2N:

Cov(3ξ - 1, 2N) = E((3ξ - 1)(2N)) - E(3ξ - 1)E(2N)

Так как 3ξ и 2N независимы, то Cov(3ξ - 1, 2N) = 0 - E(3ξ - 1)E(2N) = 0 - (7/5)(2.1) = -14/5

Наконец, найдем коэффициент корреляции:

r = Cov(3ξ - 1, 2N) / (STD(3ξ - 1)*STD(2N))

STD(3ξ - 1) = 3STD(ξ) = 3sqrt(Var(ξ)) = 3sqrt(E(ξ^2) - (E(ξ))^2) = 3sqrt((27/5) - (7/5)^2) = 3sqrt(14/5 - 49/25) = 3sqrt(70/25 - 49/25) = 3sqrt(21/25) = 33sqrt(21)/5

STD(2N) = 2STD(N) = 2sqrt(Var(N)) = 2sqrt(E(N^2) - (E(N))^2) = 2sqrt((2.12) - (2.1)^2) = 2sqrt(4.2 - 4.41) = 2sqrt(-0.21) = 2sqrt(21)/5

r = -14/(5(33sqrt(21)/5)(2sqrt(21)/5)) = -14 / (9*21) = -14/189

Ответ: Коэффициент корреляции между случайными величинами 3*ξ - 1 и 2N равен -14/189.