Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(1, 7); В(8, 8); С(5, -1). Найти
Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(1, 7); В(8, 8); С(5, -1). Найти уравнения биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине А.
Можно ли найти уравнение AC и AB, через 2 точки, это будет внешний угол. Потом найти BC ( с помощью уравнения через 2 точки) и найти BM ( от точки до прямой), после этого находить внешний и внутренний углы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Необходимо найти уравнения биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине А.

Внешний угол: Найдем уравнение прямой AC, проходящей через точки A(1, 7) и C(5, -1). Уравнение прямой можно найти по формуле у= kx + b, где k - коэффициент наклона, b - свободный член.

Найдем коэффициент наклона:
k = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (-1 - 7)/(5 - 1) = -8/4 = -2

Теперь найдем уравнение AC:
y = -2x + b
Подставим точку A(1, 7):
7 = -2*1 + b
b = 7 + 2 = 9
Уравнение прямой AC: y = -2x + 9

Теперь найдем точку пересечения биссектрисы внешнего угла с отрезком AC (точку M). Для этого найдем уравнение прямой перпендикулярной AC, проходящей через точку A(1, 7). Коэффициент наклона перпендикулярной прямой равен обратному и противоположному по знаку отношению -1/k.

k_перп = -1/-2 = 1/2

Уравнение прямой перпендикулярной AC:
y = 1/2x + b
Подставим точку A(1, 7):
7 = 1/21 + b
b = 7 - 1/2 = 13/2
Уравнение прямой, проходящей через A и перпендикулярной AC: y = 1/2*x + 13/2

Теперь найдем точку пересечения этой прямой с AC (точку M). Решим систему уравнений AC и биссектрисы внешнего угла:
y = -2x + 9
y = 1/2*x + 13/2

-2x + 9 = 1/2x + 13/2
-2x - 1/2x = 13/2 - 9
-16/2x - 1/2x = 5/2
-17/2x = 5/2
x = -5/17

Подставим значение x обратно в уравнение AC или биссектрисы, чтобы найти y. Получим точку M(-5/17, 97/17).

Теперь найдем угол BAC, чтобы найти уравнение биссектрисы внешнего угла при вершине A.

(tanθ =\ |(\frac{ k1 - k2}{1 + k1k2})| = (\frac{ 1 + 2}{1 + 1*2}) = \frac{ 3}{3} = 1.)

Угол BAC - это внешний угол треугольника, равный сумме двух внутренних углов треугольника. Т.е. угол BAC = 180 - ∠CAB, где CAB - это угол между прямыми AB и AC.

Найдем уравнение прямой AB, проходящей через точки A(1, 7) и B(8, 8):

k = (8 - 7)/(8 - 1) = 1/7
у = 1/7х + b
подставляем точку A(1, 7):
7 = 1/7*1 + b
b = 7 - 1/7 = 48/7
Уравнение прямой AB: у = 1/7х + 48/7

Угол CAB - это угол между прямыми AC и AB. Так как мы знаем коэффициенты наклона прямых AC и AB, можем найти тангенс угла между ними и найти сам угол.

tan(∠CAB) = |(k_AC - k_AB) / (1 + k_AC k_AB)| = |(-2 - 1/7) / (1 + (-2)(1/7))| = |(-15/7) / (1 - 2/7)| = |(-15/7) / (5/7)| = 3

Таким образом, угол CAB = arctan(3) ≈ 71.57°

Итак, угол BAC = 180 - 71.57 = 108.43°. Теперь найдем уравнение биссектрисы угла BAC. Так как уголь BAC равен 108.43°, то биссектриса этого угла будет проходить через точку M(-5/17, 97/17) и точку A(1, 7). Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки:

k = (97/17 - 7) / (-5/17 - 1) = (30/17) / (-22/17) = -30/22 = -15/11

у = -15/11x + b
подставляем точку A(1, 7):
7 = -15/11*1 + b
b = 7 + 15/11 = 82/11
у = -15/11x + 82/11

Таким образом, уравнение биссектрисы внешнего угла при вершине A: y = -15/11x + 82/11

Внутренний угол: Аналогично, найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 7) и B(8, 8). Угол ABC - это внутренний угол треугольника, равный сумме двух других углов.

Найдем уравнение прямой AB:
k = (8 - 7) / (8 - 1) = 1/7
у = 1/7x + b
подставляем точку A(1, 7):
7 = 1/7*1 + b
b = 7 - 1/7 = 48/7
Уравнение прямой AB: у = 1/7x + 48/7

Так как угол ABC равен 108.43°, то биссектриса этого угла будет проходить через точку A(1, 7) и точку C(5, -1). Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки:

k = (-1 - 7) / (5 - 1) = -8/4 = -2
y = -2x + b
подставляем точку A(1, 7):
7 = -2*1 + b
b = 7 + 2 = 9
Уравнение прямой AC: y = -2x + 9

Угол BAC - это внутренний угол треугольника. Следовательно, угол BAC = arctan(2) ≈ 63.43°

Итак, угол BAC = 63.43°. Теперь найдем уравнение биссектрисы внутреннего угла при вершине A. Так как угол BAC равен 63.43°, то биссектриса этого угла будет проходить через точку A(1, 7) и точку M(-5/17, 97/17). Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки:

k = (97/17 - 7) / (-5/17 - 1) = (30/17) / (-22/17) = -30/22 = -15/11
y = -15/11x + b
подставляем точку A(1, 7):
7 = -15/11*1 + b
b = 7 + 15/11 = 82/11
Уравнение прямой BM: y = -15/11x + 82/11

Таким образом, уравнение биссектрисы внутреннего угла при вершине A: y = -15/11x + 82/11