Вписаные и описаные Средняя линия трапеции, равнобедренной вписанна в окружность и равна 7 см, а угол к основанию равен 30°. Найдите площадь трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основания трапеции равны a и b, а высота h. Так как трапеция равнобедренная, то a = b.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный радиусом окружности, стороной трапеции и половиной основания. Угол при основании равен 30°, следовательно, угол при вершине этого треугольника равен 75°.

Таким образом, мы можем найти половину основания трапеции:

a/2 = 7 sin(75°) = 7 √6 / 4

Следовательно, основание трапеции:

a = 7 * √6 / 2

Теперь мы можем найти высоту трапеции через теорему косинусов в прямоугольном треугольнике основание - радиус - сторона трапеции:

(7 / 2)^2 = r^2 + (7 √6 / 4)^2 - 2r 7 √6 / 4 cos(30°)

49 / 4 = r^2 + 63 / 4 - 7√6/4 r 1

r^2 + 7√6 / 4 * r - 14 = 0

(r + 7√6 / 8)^2 = 14 + 63 / 8 = 175 / 8

r = √(175) / 4

Теперь, когда радиус найден, можем вычислить площадь трапеции:

S = (a + b) h / 2 = (7 √6 / 2 + 7 √6 / 2) (√(175) / 4) / 2 = 7 * √(175) / 2

Таким образом, площадь трапеции равна 7 * √(175) / 2 = 29.78 см^2.