Задача по комбинаторике Сколькими способами пять черных шаров, шесть белых шаров и семь синих шаров можно разложить в три различные корзины так, чтобы в каждой корзине было хотя бы одному шару каждого цвета?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений.

Обозначим множество всех возможных способов разложения шаров по корзинам как S. Общее количество способов разложения шаров без ограничений равно $3^{18}$, так как каждый шар может быть помещен в любую из трех корзин.

Теперь найдем количество способов, когда хотя бы в одной из корзин отсутствует один из цветов шаров.
Пусть $A_i$ - событие, когда i-й цвет шара отсутствует в одной из корзин.
Тогда по формуле включений-исключений число путей, где хотя бы в одной из корзин отсутствует один из цветов, равно:
$|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3|$

Найдем количество способов, когда один из цветов (например, черный) не встречается в одной из корзин.
Это происходит, если черные шары все попали в одну корзину, таким образом оставшиеся два цвета распределены между двумя корзинами.
Число способов такого размещения равно $2 \cdot 2^{12}$.

Аналогично рассмотрим случаи, когда отсутствует белый или синий шар в одной из корзин:
$2 \cdot 2^{12}$ способов для белых шаров и $2 \cdot 2^{12}$ способов для синих шаров.

Теперь найдем количество способов, когда отсутствует по одному шару каждого цвета в одной из корзин.
Это происходит, когда шары каждого цвета попали в одну из корзин, оставив две оставшихся корзины для оставшихся цветов.
Число способов такого размещения равно $2 \cdot 2^6$.

Итак, по формуле включений-исключений получаем:
$|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 3 \cdot 2 \cdot 2^{12} - 3 \cdot 2 \cdot 2^6 = 44160$

Теперь, найдем количество способов разложить шары так, чтобы в каждой корзине было по одному шару каждого цвета:
Поскольку в каждой из трех корзин должен быть хотя бы один шар каждого цвета, то каждая корзина будет содержать по одному шару каждого цвета.
Следовательно, остается только разместить оставшиеся 9 шаров (т.е. 2 черных, 3 белых и 4 синих) так, чтобы каждая корзина содержала хотя бы один шар.

Это можно сделать $3^9$ способами.

Итак, общее количество способов разложения шаров в три корзины так, чтобы в каждой корзине был хотя бы один шар каждого цвета, равно:
$3^{18} - |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 3^{18} - 44160$