В цилиндр вписана прямая призма, в основании которой - треугольник со сторонами 15 см, 13 см, 4 см. В осевом сечении цилиндра - квадрат. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2πrh, где r - радиус цилиндра, h - высота цилиндра.

Так как основание призмы - треугольник, то радиус цилиндра равен радиусу вписанной окружности в этот треугольник.

Найдем радиус вписанной окружности. По формуле Герона находим площадь треугольника:
p = (15 + 13 + 4)/2 = 16, r = S/p = sqrt(16(16-15)(16-13)(16-4))/16 = sqrt(64) = 8,

где p - полупериметр треугольника, S - его площадь.

Так как в осевом сечении цилиндра - квадрат, то его сторона равна 2r = 16.

Теперь можем найти высоту цилиндра:
h = √[15² - (15/2)²] = √(225 - 56.25) = √168.75 = 4√10.

Тогда площадь боковой поверхности цилиндра равна 2πrh = 2π84√10 = 64π√10.

Площадь основания цилиндра - квадрата - равна (2r)² = 16² = 256.

Итак, полная площадь поверхности цилиндра равна:
S = 2πrh + 2r² = 64π√10 + 256 = 256 + 64π√10.