Задача по математике. В треугольнике АВС точка О – центр вписанной в треугольник окружности. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке Н, прямая АО пересекает сторону ВС в точке М. ∠ВНС = ∠АМС = 90 град
А) Докажите, что ВМ = НС.
Б) Найдите ВО, если АН = √75.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

A) Доказательство:

Рассмотрим треугольники ВНО и АМО.
Углы ВНО и АМО прямые, так как они касаются окружности, проведенной вписанной в треугольник окружности.
Угол ВНО равен углу АМО, так как это вертикальные углы.
Таким образом, по угловой части мы имеем, что треугольники ВНО и АМО равны (по критерию Р типа угл-признак).
Следовательно, ВМ = НС, так как соответствующие стороны равных треугольников равны.

Б) Найдем ВО.

Из равенства треугольников ВНО и АМО следует, что ВО = АО.
Так как треугольник АНО - прямоугольный, по теореме Пифагора:
АН^2 = АО^2 + ВО^2
75 = 2ВО^2
ВО^2 = 75/2
ВО = √(75/2) = √(25*3/2) = 5√3 / √2 = 5√6 / 2

Ответ: ВМ = НС; ВО = 5√6 / 2.