Волновое уравнение.Давайте докажем это. Пусть f, g ∈ S′ таковы, что определено умножение Φ[f]Φ[g] ∈ S′.Тогда
Φ[(f⋆g)] = sqrt(2π)Φ[f]Φ[g].
Доказательство — самостоятельно!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения нам необходимо воспользоваться формулой свертки и определением действия преобразования Фурье на функциях из пространства обобщенных функций S′.

Сначала рассмотрим выражение (f ⋆ g)(t), где ⋆ обозначает операцию свертки двух функций. По определению, свертка определена как
(f ⋆ g)(t) = ∫ f(t-s)g(s) ds.

Теперь найдем преобразование Фурье от свертки f ⋆ g:
Φ[(f⋆g)] = ∫ (f⋆g)(t) e^(-iωt) dt
= ∫ ∫ f(t-s)g(s) e^(-iωt) dt ds
= ∫ ∫ f(t-s)e^(-iω(t-s))g(s) dt ds
= ∫ ∫ f(t-s)e^(-iωt)e^(iωs)g(s) dt ds
= ∫ e^(iωs)g(s) ∫ f(t-s)e^(-iωt) dt ds
= ∫ e^(iωs)g(s) Φf ds
= Φf ∫ e^(iωs)g(s) ds
= Φf Φg.

Таким образом, мы получили, что преобразование Фурье от свертки двух функций f и g равно произведению преобразований Фурье от этих функций. Остается лишь заметить, что по определению преобразования Фурье мы имеем Φf = sqrt(2π)f(ω), и тогда
Φ[(f⋆g)] = sqrt(2π)Φ[f]Φ[g].

Таким образом, мы доказали утверждение Φ[(f⋆g)] = sqrt(2π)Φ[f]Φ[g] для функций f, g из пространства обобщенных функций S′.