Интегральное преобразование Фурье: Самостоятельная задача Самостоятельная задача: как надо изменить утверждение леммы из доказательства предыдущей теоремы, если предположить, что у функции f имеется разрыв первого рода в нуле? Докажите это модифицированное утверждение! Как тогда можно будет переформулировать теорему об обращении преобразования Фурье?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Если предположить, что у функции f имеется разрыв первого рода в нуле, то утверждение леммы из доказательства предыдущей теоремы нужно изменить следующим образом:
Если f(x) и ее производные f'(x), f''(x),...,f^(n-1)(x) - непрерывны на промежутке [a, b], и f^(n)(x) существует всюду на (a, b) и представима в виде суммы f^(n)(x) = a_n(x) + b_n(x), где a_n(x) и b_n(x) - интегрируемые функции Лебега, то

Ff^(n) = (ik)^n Ff - i^n \sum_(j=0)^(n-1) (ik)^(n-j-1) a_j, k не равно 0,
где F[f] - преобразование Фурье функции f.

Доказательство модифицированного утверждения проводится аналогично соответствующему утверждению из предыдущей теоремы, но с учетом учета разрыва первого рода.

Теорему об обращении преобразования Фурье можно переформулировать следующим образом:
Если функции f(x) и ее производные f'(x), f''(x),...,f^(n-1)(x) - непрерывны на промежутке [a, b], и f^(n)(x) существует всюду на (a, b) и представима в виде суммы f^(n)(x) = a_n(x) + b_n(x), где a_n(x) и b_n(x) - интегрируемые функции Лебега, то

f(x) = (-1)^n (2π)^(-n) \int_[-\infty, +\infty] Ff^(n)e^{itx}dt,

где F[f] - преобразование Фурье функции f.