Исследуйте функцию на возрастание и убывание y=x^2/(x-1)^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования функции на возрастание и убывание, найдем производную функции y(x):

y(x) = x^2 / (x - 1)^2

y'(x) = (2x(x - 1)^2 - 2x^2(x - 1)(2x - 2)) / (x - 1)^4
y'(x) = (2x(x^2 - 2x + 1) - 2x^2(2x^2 - 2x)) / (x - 1)^4
y'(x) = (2x^3 - 4x^2 + 2x - 4x^3 + 4x^2) / (x - 1)^4
y'(x) = (-2x^3 + 2x) / (x - 1)^4
y'(x) = -2x(x^2 - 1) / (x - 1)^4
y'(x) = -2x(x + 1)(x - 1) / (x - 1)^4
y'(x) = -2x(x + 1) / (x - 1)^3

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует:

-2x(x + 1) / (x - 1)^3 = 0
x = 0, x = -1

Исследуем знаки производной и соответственно, находим интервалы возрастания и убывания функции:

x < -1: y'(x) < 0. Функция убывает на этом интервале.-1 < x < 0: y'(x) > 0. Функция возрастает на этом интервале.x > 0: y'(x) < 0. Функция убывает на этом интервале.

Таким образом, функция y = x^2 / (x - 1)^2 возрастает на интервале (-1, 0) и убывает на интервалах (-∞, -1) и (0, +∞).