Окружность в треугольнике 23.13. В равнобедренный треугольник с основанием 12 см вписана окружность, а к ней проведены три касательные так, что они от- секают от данного треугольника три треугольника по одному воз- ле каждой вершины. Сумма периметров трех образовавшихся треугольников равна 48 см. Найдите боковую сторону данного треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим боковую сторону равнобедренного треугольника за а.
Так как вписанная окружность касается основания треугольника, то рассмотрим треугольник, образованный основанием и касательной к окружности. Этот треугольник является равнобедренным, так как одна из его сторон равна радиусу вписанной окружности, а одна из его вершин является вершиной треугольника. Значит, две равные стороны этого треугольника равны радиусу окружности, а третья сторона - это половина основания треугольника, то есть a/2.

Таким образом, периметр этого треугольника равен a + 2r, где r - радиус вписанной окружности.

Так как сумма периметров трех образовавшихся треугольников равна 48 см, то получаем:
a + 2r + a + 2r + a + 2r = 48
3a + 6r = 48
a + 2r = 16

Так как радиус вписанной окружности равен полупериметру треугольника, то r = (12+a)/2.

Подставляем это значение в уравнение:
a + 2(12+a)/2 = 16
a + 12 + a = 16
2a + 12 = 16
2a = 4
a = 2

Итак, боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2 см.