Окружность в треугольнике 23.13. В равнобедренный треугольник с основанием 12 см вписана окружность, а к ней проведены три касательные так, что они от- секают от данного треугольника три треугольника по одному воз- ле каждой вершины. Сумма периметров трех образовавшихся треугольников равна 48 см. Найдите боковую сторону данного треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим боковую сторону равнобедренного треугольника за а
Так как вписанная окружность касается основания треугольника, то рассмотрим треугольник, образованный основанием и касательной к окружности. Этот треугольник является равнобедренным, так как одна из его сторон равна радиусу вписанной окружности, а одна из его вершин является вершиной треугольника. Значит, две равные стороны этого треугольника равны радиусу окружности, а третья сторона - это половина основания треугольника, то есть a/2.

Таким образом, периметр этого треугольника равен a + 2r, где r - радиус вписанной окружности.

Так как сумма периметров трех образовавшихся треугольников равна 48 см, то получаем
a + 2r + a + 2r + a + 2r = 4
3a + 6r = 4
a + 2r = 16

Так как радиус вписанной окружности равен полупериметру треугольника, то r = (12+a)/2.

Подставляем это значение в уравнение
a + 2(12+a)/2 = 1
a + 12 + a = 1
2a + 12 = 1
2a =
a = 2

Итак, боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2 см.