7^2n-4^2n доказать что при любых n делится на 33. С помощью метода математической индукции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное утверждение с помощью математической индукции.

База индукции:
Для n=1: 7^21 - 4^21 = 49 - 16 = 33. Получаем, что при n=1 утверждение верно.

Предположение индукции:
Пусть утверждение верно для некоторого n=k, т.е. 7^2k - 4^2k кратно 33.

Шаг индукции:
Докажем для n=k+1.
7^(2(k+1)) - 4^(2(k+1)) = 7^2k+2 - 4^2k+2 = 497^2k - 164^2k = 49(7^2k - 4^2k) = 4933 (по предположению индукции) = 1617.
Таким образом, утверждение верно и для n=k+1.

Из базы и шага индукции следует, что утверждение верно для всех натуральных n.