Пусть x, y, z --- корни уравнения
t^3−5t−3=
Найти: x^3*y^3 + x^3*z^3 + y^3*z^
Пусть x, y, z --- корни уравнения
t^3−5t−3=0
Найти: x^3*y^3 + x^3*z^3 + y^3*z^3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем сумму двух произведений корней данного уравнения. По формуле Виета, сумма всех возможных произведений различных корней равна -(-5) = 5.

Теперь раскроем выражение (x^3 + y^3 + z^3)^2 по формуле (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac).

Получим следующее выражение
(x^3 + y^3 + z^3)^2 = x^6 + y^6 + z^6 + 2(x^3y^3 + x^3z^3 + y^3*z^3)

Так как x, y, z --- корни исходного уравнения, то x^3 - 5x - 3 = 0, y^3 - 5y - 3 = 0, z^3 - 5z - 3 = 0. Значит, x^3 = 5x + 3, y^3 = 5y + 3, z^3 = 5z + 3.

Подставляем в выражение
(5x + 3 + 5y + 3 + 5z + 3)^2 = x^6 + y^6 + z^6 + 2(x^3y^3 + x^3z^3 + y^3z^3
(5x + 5y + 5z + 9)^2 = x^6 + y^6 + z^6 + 2(x^3y^3 + x^3z^3 + y^3z^3
100(x + y + z) + 81 = x^6 + y^6 + z^6 + 2(x^3y^3 + x^3z^3 + y^3*z^3)

Так как x + y + z = 0 (по формуле Виета), то 100 0 + 81 = x^6 + y^6 + z^6 + 2(x^3y^3 + x^3z^3 + y^3z^3
81 = x^6 + y^6 + z^6 + 2(x^3y^3 + x^3z^3 + y^3*z^3)

Отсюда
x^6 + y^6 + z^6 = 81

Теперь подставляем это в исходное выражение
81 = 81 + 2(x^3y^3 + x^3z^3 + y^3z^3
2(x^3y^3 + x^3z^3 + y^3z^3) =
x^3y^3 + x^3z^3 + y^3*z^3 = 0

Таким образом, x^3y^3 + x^3z^3 + y^3*z^3 = 0.