Решите неравенство sqrt(x+4,2) + 1/(sqrt(x+4,2)) >= 5/2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного неравенства сделаем замену: (y = \sqrt{x+4,2}).

Тогда неравенство примет вид:
(y + \frac{1}{y} \geq \frac{5}{2}).

Умножим обе части неравенства на 2y, чтобы избавиться от знаменателя:
(2y^2 + 1 \geq 5y).

Приведем все слагаемые в одну часть неравенства:
(2y^2 - 5y + 1 \geq 0).

Далее решаем квадратное уравнение:
(D = 5^2 - 421 = 25 - 8 = 17).

(y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}).

Таким образом, корни уравнения равны:
(y_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}) и (y_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}).

Итак, неравенство верно для (y \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{17}}{4}] \cup [\frac{5 + \sqrt{17}}{4}, +\infty)).

Теперь подставляем обратно значение y = (\sqrt{x+4,2}) и решаем неравенство относительно x:

(\sqrt{x+4,2} \leq \frac{5 - \sqrt{17}}{4}) или (\sqrt{x+4,2} \geq \frac{5 + \sqrt{17}}{4}).

Далее решаем данные уравнения и находим множество решений для x.