Тест по математике 2 Номер 1. Вершины треугольника имеют координаты A (1; 3.5), B (15.5; 3.5), C (11; 18). Рассматриваются горизонтальные линии, задаваемые уравнениями y=n, где n — целое. Найдите сумму длин отрезков, высекаемых на этих прямых сторонами треугольника.
Номер 2. Рассматривается квадратный трёхчлен P(x)=ax^2+bx+c, имеющий различные положительные корни. Вася выписал на доску четыре числа: корни P(x), а также корни трёхчлена Q(x)=cx^2+bx+a. Какое наименьшее целое значение может иметь сумма выписанных чисел?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи найдем уравнения прямых, соответствующих горизонтальным линиям y=n. Затем найдем точки пересечения этих прямых с сторонами треугольника и вычислим их длины.

Уравнение прямой, задаваемой горизонтальной линией y=n, пересекающей сторону AB треугольника, имеет вид y=3.5. Пересечение с стороной AB происходит в точке B (15.5; 3.5). Длина отрезка AB равна расстоянию между точками A и B и равна sqrt((15.5-1)^2 + (3.5-3.5)^2) = 14.

Аналогично для прямой y=4, пересекающей сторону BC треугольника. Точка пересечения BC с прямой y=4 имеет координаты (11; 4), а длина отрезка BC равна 14,5.

Наконец, для прямой y=19, пересекающей сторону AC треугольника. Точка пересечения AC с прямой y=19 имеет координаты (1; 19), а длина отрезка AC равна sqrt((11-1)^2 + (19-3.5)^2) ≈ 16,68.

Сумма длин отрезков, высекаемых на горизонтальных прямых сторонами треугольника AB, BC и AC, равна 14 + 14,5 + 16,68 ≈ 44,18.

Рассмотрим квадратный трёхчлен P(x)=ax^2+bx+c, имеющий различные положительные корни. Пусть корни этого трёхчлена равны x1 и x2. Тогда трёхчлен Q(x)=cx^2+bx+a имеет корни x1 и x2.

Сумма корней квадратного трехчлена равна -b/a, а сумма корней Q(x) равна -b/c.

Таким образом, наименьшее целое значение суммы выписанных чисел будет равно модулю разности a и c. Так как a и c являются положительными числами, то наименьшее такое значение будет равно 1.

Итак, наименьшее целое значение суммы выписанных чисел равно 1.