Дан квадратный трёхчлен P(x), старший коэффициент которого равен 1. На графике y=P(x) отметили две точки с абсциссами 30 и 50. Оказалось, что биссектриса первой четверти координатной плоскости пересекает отрезок между ними в его середине. Найдите P(40) .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия известно, что биссектриса первой четверти координатной плоскости проходит через точку с координатами (40, P(40)) и находится на середине отрезка между точками (30, P(30)) и (50, P(50)). Таким образом, координаты точки пересечения биссектрисы с отрезком будут равны (40, (P(30) + P(50))/2).

Так как старший коэффициент у трехчлена P(x) равен 1, общий вид данного трехчлена будет P(x) = x^2 + bx + c.

Тогда подставляя координаты точек, получим систему уравнений
P(30) = 30^2 + 30b + c = 900 + 30b +
P(50) = 50^2 + 50b + c = 2500 + 50b +
P(40) = 40^2 + 40b + c

Также из условия известно, что биссектриса пересекает отрезок между точками (30, P(30)) и (50, P(50)) в его середине
(P(30) + P(50))/2 = (900 + 30b + c + 2500 + 50b + c)/2 = (3400 + 80b + 2c)/2 = 1700 + 40b + c

Подставляем координаты точек в полученные уравнения
1700 + 40b + c = P(40) = 40^2 + 40b + c.

Отсюда получаем, что P(40) = 1600 + 40b + c.

Таким образом, нам нужно найти значение выражения 1600 + 40b + c, зная значения P(30) и P(50).

Аналогично, переходим к системе уравнений
900 + 30b +
2500 + 50b + c

И координатам точки пересечения биссектрисы
1700 + 40b + c

Из системы уравнений находим
c = 900 - 30
c = 2500 - 50b

Приравниваю два уравнения, нахожу b
900 -30b = 2500 - 50
20b = 160
b = 80

Подставляем b в одно из уравнений для нахождения c
c = 2500 - 50*8
c = 2500 - 400
c = -1500

Наконец, подставляем найденные значения b и c в формулу P(40)
P(40) = 1600 + 40*80 - 150
P(40) = 1600 + 3200 - 150
P(40) = 3200 - 150
P(40) = 1700

Ответ: P(40) = 1700.