У многочлена P(x) все коэффициенты — целые неотрицательные числа. Известно, что P(1)=4 и P(5)=152. Чему равно P(12)?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть P(x) = an * x^n + a(n-1) x^(n-1) + ... + a_1 x + a_0, где все a_i - целые неотрицательные числа.

Так как P(1) = 4, то an + a(n-1) + ... + a_1 + a_0 = 4. (1)

И так как P(5) = 152, то an * 5^n + a(n-1) 5^(n-1) + ... + a_1 5 + a_0 = 152. (2)

Вычтем из (2) пять раз равенство (1):

an * 5^n + a(n-1) 5^(n-1) + ... + a_1 5 + a_0 - 5(an + a(n-1) + ... + a_1 + a_0) = 152 - 5 4,
a_n (5^n - 5) + a_(n-1) (5^(n-1) - 5) + ... + a_1 4 = 132,
5 (a_n 5^(n-1) + a_(n-1) 5^(n-2) + ... + a_1) + a_0 4 = 132,
5 P(5) + 4 a_0 = 132,
5 152 + 4 a_0 = 132,
4 a_0 = 132 - 5 152,
4 a_0 = 132 - 760,
4 a_0 = -628,
a_0 = -157.

Так как все a_i - целые неотрицательные числа, то a_0 не может быть отрицательным, следовательно, мы получили противоречие. Значит, нет многочлена P(x), удовлетворяющего условиям задачи.

Получается, что невозможно вычислить P(12) в данной ситуации.