Задача про делители числа Паша выписал в порядке возрастания все натуральные делители натурального числа k

и их пронумеровал: первый, второй, ….

Паша заметил, что если шестой делитель умножить на тринадцатый делитель, то получится исходное число k


Сколько натуральных делителей имеет число k
?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть число k имеет вид k = p^a q^b r^c, где p, q, r - простые числа, a, b, c - их степени. Тогда количество делителей числа k равно (a+1)(b+1)(c+1).

По условию, шестой делитель - это p^5 или q^5 или r^5, а тринадцатый делитель - это p^12 или q^12 или r^12.

Так как произведение шестого и тринадцатого делителей равно k, то:
1) p^5 p^12 = p^17 = p^(a+1)
2) q^5 q^12 = q^17 = q^(b+1)
3) r^5 * r^12 = r^17 = r^(c+1)

Таким образом, для каждого простого числа p, q, r степень одного из делителей увеличивается на 1.

Следовательно, количество делителей числа k увеличивается на 1 в каждой из степеней a, b, c и равно (a+1)(b+1)(c+1) + 1.

Итак, число k имеет (a+1)(b+1)(c+1) делителей, увеличенных на 1 единицу.