Геометрическая прогрессия b1, b2,... такова, что b25=2 tg α, b31=2sinα для некоторого острого угла α. Найдите номер n, для которого bn=sin2α.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим первый член геометрической прогрессии b1 = a, а знаменатель прогрессии q. Тогда бn можно представить как b1*q^(n-1), где n - номер члена прогрессии.

Известно, что b25 = 2tgα и b31 = 2sinα. Тогда можно записать два уравнения:

aq^(25-1) = 2tgα
aq^(31-1) = 2sinα

Для начала найдем отношение членов прогрессии q:

q = (b31/b25)^(1/(31-25)) = (2sinα / 2tgα)^(1/6) = sinα / tgα = cosα

Теперь можем выразить а из первого уравнения:

a = 2tgα / cos^24α = 2sinα* сos 22α

Итак, бn = 2sinα * cos(22 + nα), где n - номер члена прогрессии.

Нам нужно найти номер n, для которого bn = sin^2α. Подставляем в выражение для bn sin^2α и решаем уравнение:

2sinα * cos(22 + nα) = sin^2α
cos(22 + nα) = 0.5
22 + nα = π/3 или 2π/3
n = (π/3 - 22α) / α или (2π/3 - 22α) / α

Таким образом, номер n, для которого bn = sin^2α, равен либо (π/3 - 22α) / α, либо (2π/3 - 22α) / α.