Последовательность многочленов Рn(x), где n>=0, n - целое число, задана рекуррентно: Р0(х) тождественно равен 1, и Рn+1(х) = х^(7(n+1)) - Рn(х) для всех n>=0. Для каждого n>=0 найдите все вещественные корни Рn(х).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, найдем первые несколько многочленов:

P0(x) = 1

P1(x) = x^7 - 1

P2(x) = x^14 - (x^7 - 1) = x^14 - x^7 + 1

P3(x) = x^21 - (x^14 - x^7 + 1) = x^21 - x^14 + x^7 - 1

И так далее...

Теперь давайте выразим общий вид для многочлена Pn(x):

Pn(x) = x^(7n) - Pn-1(x)

Теперь давайте рассмотрим общую формулу для вычисления общего корня многочлена Pn(x):

Если a^n - b^n = 0, то (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + b^(n-1)) = 0

Применяя данную формулу для многочлена Pn(x) = x^(7n) - Pn-1(x), мы можем найти его корни.

Таким образом, для каждого целого n >= 0 корнями многочлена Pn(x) будут все вещественные числа вида x = t^(1/7), где t - целое число.