Олимпиада по математике 9кл По кругу вписаны 300 целых ненулевых чисел таких, что каждое число больше произведения трех следующих за ним по яасовой стрелке чисел. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди этих 300 выписанных чисел?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим отношение между каждым числом и произведением трех следующих за ним чисел. Обозначим числа $a_1, a2, ..., a{300}$ и произведения $P_1, P2, ..., P{300}$.

Итак, для каждого $i$ от 1 до 300 выполняется следующее неравенство:
[ai > a{i+1} \cdot a{i+2} \cdot a{i+3}]

Умножим все неравенства на знакомый нам трюк $(a{i+1}+1)(a{i+2}+1)(a_{i+3}+1)$

По неравенству AM-GM имеем:
[(a{i+1}+1)(a{i+2}+1)(a{i+3}+1) \leq \left(\frac{a{i+1}+1+a{i+2}+1+a{i+3}+1}{3}\right)^3 = \left(\frac{a_i+2}{3}\right)^3]

Мы умножили оба выражения, поэтому итоговое неравенство примет вид:
[ai(a{i+1}+1)(a{i+2}+1)(a{i+3}+1) > (a{i+1}+1)(a{i+2}+1)(a{i+3}+1) \cdot a{i+1} \cdot a{i+2} \cdot a{i+3} ]

[(a{i} + 1) > \left(\frac{a{i}+2}{3}\right)^3]

Решив это неравенство, получаем:
[a_{i} < 8]

Так как каждое число не может равняться нулю, то остается только 7 положительных чисел в последовательности.

Итак, наибольшее количество положительных чисел среди 300 выписанных чисел равно 7.