Задача по алгебре Рассматривается квадратный трехчлен Р(х) = ах^2+bx+c, у которого различные положительные корни. Вася выписал на доску четыре числа: корни Q(х)=сх^2+bx+а. Какое наименьшее целое значение может иметь сумма выписанных четырех чисел?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем корни уравнения Р(х) = ах^2+bx+c. Пусть корни - x1 и x2. Тогда Q(х) = cx^2+bx+a будет иметь корни x1 и x2.

По формуле Виета сумма корней уравнения Р(х) равна -b/a, а сумма корней уравнения Q(х) равна -b/c. Из условия известно, что все корни положительные, следовательно, b и c должны быть положительными.

Таким образом, -b/a > -b/c, то есть c > a. Аналогично, по формуле Виета сумма корней уравнения Р(х) равна -b/a и -b/a > -b/c, следовательно, c > a. Следовательно, сумма выписанных четырех чисел будет минимальной, когда c = a + 1.

Теперь подставим это значения в выражения для суммы корней и получим:

a + b + c + c + b + a = 2a + 2b + 2c = 2(a + b + c) = 2(a + a + 1) = 4a + 2

Следовательно, наименьшее целое значение суммы выписанных четырех чисел равно 4.