Докажите, что любая точка, принадлежащая биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения обозначим данную точку как P, угол как ABC, прямую биссектрису как BD, а расстояния от точки P до сторон угла ABC как h1 и h2.

Так как точка P лежит на биссектрисе угла ABC, то угол PBD равен углу PBC (так как точка D - точка пересечения биссектрисы и стороны угла ABC). То есть ∠PBD = ∠PBC.

Также, угол PBD равен углу CBD (так как BD - биссектриса угла ABC). То есть ∠PBD = ∠CBD.

Отсюда следует, что углы PBC и CBD равны между собой: ∠PBC = ∠CBD.

Теперь рассмотрим треугольники PBD и PBC. Они имеют:

1) Общий угол ∠PBD = ∠PBC (из вышеупомянутых равенств углов)
2) Угол PDB равен углу PBC по построению
3) Следовательно, угол PDB равен углу CBD (из равенства углов PBC и CBD).

Таким образом, треугольники PBD и PBC равны по стороне-уголу-стороне (по двум углам и общей стороне PB). Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: h1 = h2.

Следовательно, любая точка, принадлежащая биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.