Медианы треугольника равны 6 см, 10 см, 4√5 см. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что треугольник прямоугольный, нам нужно показать, что длины медиан соответствуют условию прямоугольного треугольника.

Заметим, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Также известно, что длина медианы, проведенной к стороне треугольника, равна половине этой стороны.

Пусть (a), (b) и (c) - стороны треугольника, а (m_a), (m_b) и (m_c) - соответствующие медианы.

Тогда по условию:
(m_a = 6) (медиана проведена к стороне (a)),
(m_b = 10) (медиана проведена к стороне (b)),
(m_c = 4\sqrt{5}) (медиана проведена к стороне (c)).

Также известно, что (m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}), (m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}) и (m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}).

Подставим данные значения для (m_a), (m_b) и (m_c):
(6 = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}),
(10 = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}),
(4\sqrt{5} = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}).

Возведем все уравнения в квадрат, и приведем их к одному виду:
(36 = 2b^2 + 2c^2 - a^2),
(100 = 2a^2 + 2c^2 - b^2),
(80 = 2a^2 + 2b^2 - c^2).

Теперь сложим все три уравнения:
(36 + 100 + 80 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - a^2 - b^2 - c^2),
(216 = a^2 + b^2 + c^2).

Таким образом, получаем, что выполняется теорема Пифагора, что означает, что треугольник является прямоугольным.