Геометрия, найти двугранный угол между гранями В тетраэдре с вершинами в точке а(0,-1,2), b(3,3,-1), c(3,1,1) и d(5,-4,-6), найдите двугранный угол между гранями ABC и dbc

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения двугранного угла между гранями ABC и DBC в тетраэдре, необходимо найти векторное произведение нормалей к этим граням и затем найти угол между этими векторами.

Найдем нормали к граням ABC и DBC:

Нормаль к грани ABC: n1 = AB x ACНормаль к грани DBC: n2 = DB x DC

Найдем угол между этими нормалями (двугранный угол)
cos(theta) = (n1 n2) / (||n1|| ||n2||)

Где:

обозначает скалярное произведение|| || обозначает норму вектора

Теперь рассчитаем:

Нормаль к грани ABC
AB = b - a = (3, 3, -1) - (0, -1, 2) = (3, 4, -3
AC = c - a = (3, 1, 1) - (0, -1, 2) = (3, 2, -1)

n1 = AB x AC = (4-1 - -32) i - (31 - 3-3) j + (32 - 43)
n1 = (-8 - -6) i - (3 + 9) j + (6 - 12)
n1 = -2i - 12j - 6k

Нормаль к грани DBC
DB = b - d = (3, 3, -1) - (5, -4, -6) = (-2, 7, 5
DC = c - d = (3, 1, 1) - (5, -4, -6) = (-2, 5, 7)

n2 = DB x DC = (77 - 5-2) i - (-27 - 5-2) j + (-25 - 7-2)
n2 = (49 + 10) i - (-14 + 10) j + (-10 - 14)
n2 = 59i - 4j - 24k

Считаем косинус двугранного угла
cos(theta) = (n1 n2) / (||n1|| ||n2||
cos(theta) = ((-259) + (-12-4) + (-6-24)) / (sqrt((-2)^2 + (-12)^2 + (-6)^2) sqrt(59^2 + (-4)^2 + (-24)^2)
cos(theta) = (118 + 48 - 144) / (sqrt(4 + 144 + 36) sqrt(3481 +16 + 576)
cos(theta) = 22 / (sqrt(184) sqrt(4073)
cos(theta) = 22 / (13.56 * 63.81
cos(theta) = 22 / 864.4
cos(theta) ≈ 0.0255

Находим угол theta
theta = arccos(0.0255
theta ≈ 1.44°

Таким образом, двугранный угол между гранями ABC и DBC в тетраэдре равен примерно 1.44°.