Из вершины угла треугольника проведена
биссектриса Из вершины угла треугольника проведена
биссектриса так, что = 7 и = 5 Найдите синус
угла , если − = 10 При выполнении задания
необходимо сделать рисунок.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим углы треугольника: A, B и C (где А - вершина, из которой проведена биссектриса). По условию известно, что AC = 7, AB = 5, BC = 10.

Так как биссектриса проведена из вершины угла А, то угол CAB = угол CBA = x (по построению) и угол BAC = y.

Из теоремы синусов для треугольника ABC:
sin(BAC)/AB = sin(ABC)/AC = sin(ACB)/BC

sin(y)/5 = sin(x)/7 = sin(180°-x-y)/10

sin(y)/5 = sin(x)/7 = sin(x+y)/10 (так как угол CBA = x и угол ABC = x+y)

Построим треугольник:

\ /
\ /5
\/
A
Создадим уравнение по теореме синусов:

sin(y)/5 = sin(x)/7
7sin(y) = 5sin(x) (1)

sin(x+y)/10 = sin(y)/5
10sin(x+y) = 5sin(y)
2sin(x+y) = sin(y)
2sinxcosy + 2cosxsiny = siny
2sinxcosy + 2cosxsiny - siny = 0
2sinxcosy + (2cosx-1)siny = 0 (2)

Рассмотрим уравнение (1), исходя из условия sin^2(x) + cos^2(x) = 1, получаем:

7sin(y) = 5sin(x)
7sin(y) = 5sin(x)√(1-cos^2(x))
7sin(y) = 5sin(x)√(1-(1-sin^2(x)))
7sin(y) = 5sin(x)*√(sin^2(x))
7sin(y) = 5sin^2(x)
7sin(y) = 5(1-cos^2(x))
7sin(y) = 5 - 5cos^2(x)

Подставим это в уравнение (2):

2sinxcosy + 2cosxsiny - siny = 0
2sinxcosy + 2cosxsiny - siny = 0
2sinxcosy + 2cosxsiny - 7sin(y) = 0
sinxcosy + cosxsiny - 7sin(y)/2 = 0
sin(x+y) - 7sin(y)/2 = 0
sin(x+y) = 7sin(y)/2

Таким образом, синус угла x+y равен 7/2 sin(y) = 7/2 5/7 = 5/2.

Ответ: синус угла x+y равен 5/2.