В АВС отрезок DE || АС.BE =9см, ВС = 12см.Площадь BDE равна 36 см2. Докажите подобие треугольников, найдите площадь АВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка F - точка пересечения отрезков AB и DE.

Так как DE || AC, то из подобия треугольников BDE и ABC следует, что BF/BA = DE/AC = DE/AB.
Из данных задачи DE = BE = 9см, AC = BC - AB = BC - BC = 12 - AB.
Таким образом, BF/BA = 9/ (12 - AB).

Из площади треугольника BDE = 36 следует, что (1/2) BE DF = 36 => (1/2) 9 DF = 36 => DF = 8 см.

Теперь в треугольнике BFС применим теорему Фалеса:
BF/FA = BC/AC = 12/(12 - AB).

Поскольку треугольники BFA и BDE подобны, то BF/BA = DF/DE = 8/9.
Тогда можно заменить в уравнении BC/AC = 12/(12 - AB) BC/(BC - AB) = 12/(12 - AB) второе уравнение на 12/(12 - 9) = 12/3 = 4.
Отсюда находим, что BC - AB = 12/4, то есть AB = 6см.

Теперь можем найти BC = AB + AC = 6 + 12 = 18см.
Площадь треугольника ABC равна (1/2) AB BC = (1/2) 6 18 = 54 см2.

Так как BC = 18, а AC = 12, то стороны АВС могут быть записаны как 6:12:18, что указывает на подобие треугольников BDE и BCA.