Докажите, что существует 1000
различных натуральных чисел таких... Докажите, что существует 1000
различных натуральных чисел таких, что при любом разбиении этих чисел на два множества (непустых), сумма чисел одного из них будет делиться на сумму чисел другого множества

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения построим последовательность чисел, удовлетворяющую условию задачи.

Рассмотрим числа 1,2,4,8,16,...,2^n,...., где n - натуральное число.

Заметим, что при любом разбиении этой последовательности на два непустых множества, одно из них будет содержать число 1, а другое множество не будет содержать число 1. Таким образом, сумма чисел одного из множеств будет делиться на сумму чисел другого множества.

Получили последовательность чисел, удовлетворяющую условию задачи. Так как в данной последовательности бесконечное количество чисел, то существует 1000 различных натуральных чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Таким образом, мы доказали, что существует 1000 различных натуральных чисел, удовлетворяющих условию задачи.