В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке M. Через точку M проведена прямая, параллельная стороне BC и пересекающая стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Найдите BC, если DE = 6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку AM - медиана треугольника ABC, то AM = 2/3 MD и AM = 2/3 ME(по свойствам медиан в треугольнике).
Следовательно, MD = (3/2) AM и ME = (3/2) AM.

Так как DE параллельно BC, то по теореме Талесса BD/DA = CE/EA.(1)
Она справедлива за счёт того, что AD и AE - сопряжённые, а MD и ME - сопряжённые.
Отсюда имеем(2/1)=(BE/EC), откуда (BE+2)/(EC+2) = 2, и получаем, что BE:EC = 4:1.
Имеем, что в ABC BM является медианой и проведена к ней, то BM = 2*MD, то есть MD = BM/2 = ME, откуда DB = BE/2 = 2, и ЕC = BE/4 = 1.

Исходя из(1) BD/DA = 4 и DC/AC=1 получаем,
находим BD=4, DA=1 и DC=1, AC=5.
Отсюда BC=DC+DB=5+4=9.

Итак, получается, что BC=9.