Лемма из математического анализа. Пусть lim(f(x))(x->0) = 0 и f(x) = const. Докажите, что f(x) = 0.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия lim(f(x))(x->0) = 0 следует, что для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x с 0 < |x| < δ выполнено |f(x) - 0| < ε.

Так как f(x) = const, то для любого x с 0 < |x| < δ имеем |f(x) - f(0)| < ε.

Но так как f(x) = const, то f(x) = f(0). Поэтому |f(x) - f(0)| = 0 < ε.

Отсюда следует, что ε может быть любым положительным числом, а значит f(x) = 0.