Математика. Найти пары чисел Произведение двух чисел равно их сумме, а учетверённое произведение — сумме их
квадратов. Найдите все пары таких чисел

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть эти числа равны x и y.

Тогда условие задачи можно записать следующим образом:

xy = x + y

4xy = x^2 + y^2

Теперь решим систему уравнений:

1) xy = x + y

Выразим y через x: y = x / (x - 1)

2) Подставим y = x / (x - 1) во второе уравнение: 4x * x / (x - 1) = x^2 + (x / (x - 1))^2

4x^2 / (x - 1) = x^2 + (x / (x - 1))^2

Раскроем скобки: 4x^2 / (x - 1) = x^2 + x^2 / (x^2 - 2x + 1)

Упростим: 4x^2 = x^2(x - 1) + x^2

4x^2 = x^3 - x^2 + x^2

4x^2 = x^3

x^3 - 4x^2 = 0

x^2(x - 4) = 0

x = 0 или x = 4

Подставим найденные x обратно в уравнения:

1) x = 0

0 * y = 0 + y

0 = y

Пара чисел (0, 0) не подходит по условию задачи.

2) x = 4

4y = 4 + y

3y = 4

y = 4/3

Итак, найденные парами чисел удовлетворяющие условию задачи: (4, 4/3) и (4/3, 4).