Исследовать функцию, по результатам исследования построить ее график Исследовать функцию y=(2-4x^2)/(1-4x^2)
Построить график этой функции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала исследуем область определения функции. Функция имеет знаменатель, поэтому необходимо исследовать его:

1-4x^2 ≠ 0
4x^2 ≠ 1
x^2 ≠ 1/4
x ≠ ±1/2

Таким образом, область определения функции y=(2-4x^2)/(1-4x^2) составляет x ∈ (-∞, -1/2) U (-1/2, 1/2) U (1/2, +∞).

Далее проведем анализ функции на наличие точек разрыва. Точкой разрыва будет то значение x, при котором знаменатель функции равен нулю, то есть при x = ±1/2.

Заметим, что числитель функции можно разложить на множители:
y = (2-4x^2)/(1-4x^2) = ((2-2x)(2+2x))/((1-2x)(1+2x)) = (2-2x)(2+2x)/(1-2x)(1+2x)

Теперь найдем точки пересечения функции с осями координат (y=0, x=0):

y = (2-4x^2)/(1-4x^2)
0 = (2-4x^2)/(1-4x^2)
0 = 2-4x^2
4x^2 = 2
x^2 = 1/2
x = ±√(1/2)
x = ±1/√2
x = ±1/(2√2)

Теперь построим график функции y=(2-4x^2)/(1-4x^2):

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = center,
xlabel = $x$,
ylabel = $y$,
xmin = -2, xmax = 2,
ymin = -10, ymax = 10,
]
\addplot [
domain=-2:-0.52,
samples=100,
color=blue,
]
{(2-4x^2)/(1-4x^2)};
\addplot [
domain=-0.48:0.48,
samples=100,
color=blue,
]
{(2-4x^2)/(1-4x^2)};
\addplot [
domain=0.52:2,
samples=100,
color=blue,
]
{(2-4x^2)/(1-4x^2)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

График функции построен на интервалах (-∞, -0.5), (-0.5, 0.5), (0.5, +∞).