Алгебра. Производные. Уравнение касательной. 17. На графике функции f(x) = V4 - х^2 найти все такие точки, в каждой из которых касательная, проведенная к графику, перпендикулярна прямой 2у + x +1 = 0.
18. Найти все точки графика f(х) = x^3 - х^2 в каждой
из которых касательная к этому графику образует угол 45° с положительным направлением оси ОХ

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения обоих задач нужно найти производные функций и уравнение касательной.

Функция f(x) = √4 - x^2 имеет производную f'(x) = -2x. Уравнение касательной в точке (x, f(x)) имеет вид y = f'(x)(x - x0) + f(x). Пусть уравнение касательной перпендикулярно прямой 2y + x + 1 = 0. Угловой коэффициент прямой 2y + x + 1 = 0 равен -1/2, следовательно, уравнение касательной должно иметь угловой коэффициент 2. Так как f'(x) = -2x, то -2x = 2, откуда x = -1. Подставим x = -1 в f(x) = √4 - x^2, получим f(-1) = √4 - (-1)^2 = √3. Таким образом, точка пересечения касательной и функции f(x) равна (-1, √3).

Функция f(x) = x^3 - x^2 имеет производные f'(x) = 3x^2 - 2x. Угловой коэффициент касательной в точке (x, f(x)) равен f'(x). Угол между касательной и положительным направлением оси OX равен 45°, что соответствует угловому коэффициенту 1. Таким образом, необходимо решить уравнение f'(x) = 1, то есть 3x^2 - 2x = 1. Решив это уравнение, найдем две точки, в которых угол между касательной и положительным направлением оси OX равен 45°.