Вычислить объём тела, полученного вращением фигуры вокруг полярной оси.
Фигура: ρ = 2*(1+cosφ) Решить через интеграл

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления объема тела, полученного вращением фигуры вокруг полярной оси, используем формулу для объема вращения:

V = ∫[a,b] π(ρ(φ))^2 dφ,

где a и b - пределы интегрирования, которые находятся из условия задачи.

В данном случае у нас задана фигура ρ = 2*(1+cosφ).

Для начала найдем пределы интегрирования.
Находим точки пересечения фигуры с полярной осью:
2*(1+cosφ) = 0,
1 + cosφ = 0,
cosφ = -1,
φ = π.

Таким образом, фигура пересекает полярную ось в точке φ = π, следовательно, пределы интегрирования будут от 0 до π.

Теперь вычислим объем тела:

V = ∫[0,π] π(2(1+cos(φ)))^2 dφ,
V = ∫[0,π] π(4(1+cos(φ))^2) dφ.

V = π∫[0,π] (4(1+2cos(φ)+cos^2(φ))) dφ,
V = π∫[0,π] (4+8cos(φ)+4cos^2(φ)) dφ.

V = π∫[0,π] (4+8cos(φ)+2+2cos(2φ)) dφ,
V = π(4φ + 8sin(φ) + 2φ + sin(2φ))|0→π.

Вычисляем данный интеграл в пределах от 0 до π и получаем:

V = π(4π + 0 + 2π + 0) = 6π^2.

Таким образом, объем тела, полученного вращением фигуры вокруг полярной оси, равен 6π^2.