Вычислить массу тела V, ограниченного поверхностями x^2+y^2+z^2=4; x^2+y^2=z^2;
x≥0; y≥0; z≥0. Если поверхностная плотность тела µ=6z

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы вычислить массу тела V, ограниченного заданными поверхностями, необходимо найти объем этого тела.

Заметим, что первое уравнение задает сферу радиусом 2, центр которой находится в начале координат. Учитывая условия x≥0, y≥0, z≥0, можно выделить из этой сферы четверть сферы.

Второе уравнение x^2 + y^2 = z^2 задает конус, вершина которого находится в начале координат и у которого основание полностью лежит вне отмеченной сферы.

Таким образом, тело V представляет собой объем, ограниченный четвертью сферы радиусом 2 и конусом с вершиной в начале координат.

Теперь найдем объем этого тела. Объем четверти сферы радиусом R равен V_sphere = (1/8) * (4/3)πR^3 = πR^3 / 6, где R = 2.

V_sphere = π * 2^3 / 6 = 8π / 6 = 4π / 3.

Объем конуса радиусом R и высотой h равен V_cone = (1/3)πR^2h.

Так как вершина конуса находится в начале координат, а основание полностью лежит вне сферического объема, то радиус конуса равен 2, а его высота h = 2 (по оси z).

V_cone = (1/3)π 2^2 2 = 8π / 3.

Общий объем тела V равен сумме объемов сферы и конуса: V_total = V_sphere + V_cone = 4π / 3 + 8π / 3 = 12π / 3 = 4π.

Итак, объем тела V равен 4π.

Теперь можно найти массу этого тела, умножив объем на поверхностную плотность: m = V_total µ = 4π 6z = 24πz.

Таким образом, масса тела V равна 24πz.