Две окружности пересекаются в точках A и B; общая касательная касается окружностей в точках C и D... Две окружности пересекаются в точках A и B; общая касательная касается окружностей в точках C и D. Докажите, что прямая AB делит отрезок CD пополам.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что по свойству касательной к окружности, угол CAB равен углу CBD (построим дополнительную касательную к окружности, проходящую через точку B и найдем соответствующие углы).

Так как угол CAB равен углу CBD, то треугольники CAB и CBD подобны по двум углам. Значит, соответствующие стороны пропорциональны: CA/CD = BA/BD.

Также заметим, что угол CAD равен углу CBD, так как это соответственные углы при параллельных прямых.

Таким образом, треугольники CAD и CBD подобны по углу при вершине C и по двум углам, значит, соответствующие стороны пропорциональны: CA/CD = BA/BD.

Из двух полученных пропорций следует, что CA/CD = BA/BD, откуда следует, что AB делит отрезок CD пополам.

Таким образом, прямая AB делит отрезок CD пополам.