Найти интеграл (x^2+1)/(x^2-5x+4) интеграл (x^2+1)/(x^2-5x+4)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти этот интеграл, сначала разложим дробь на простейшие дроби:

(x^2+1)/(x^2-5x+4) = (x^2+1)/((x-4)(x-1))

Теперь найдем коэффициенты A и B в разложении на простейшие дроби:

(x^2+1)/((x-4)(x-1)) = A/(x-4) + B/(x-1)

Умножим обе части уравнения на (x-4)(x-1):

x^2+1 = A(x-1) + B(x-4)

Теперь подставим x=1:

1^2+1 = A(1-1) + B(1-4)
2 = -3B
B = -2/3

Теперь подставим x=4:

4^2+1 = A(4-1) + B(4-4)
17 = 3A
A = 17/3

Таким образом, разложение на простейшие дроби выглядит следующим образом:

(x^2+1)/(x^2-5x+4) = 17/(3(x-4)) - 2/(3(x-1))

Теперь найдем интеграл:

∫(x^2+1)/(x^2-5x+4) dx = ∫(17/(3(x-4)) - 2/(3(x-1))) dx
= 17/3 ln|x-4| - 2/3 ln|x-1| + C

Где C - произвольная постоянная.