Задача по геометрии Диагональ AC параллелограмма составляет со стороной AB угол 15 градусов и является биссектрисой угла A. Сторона AB равна 4. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку диагональ AC является биссектрисой угла A, то угол BAC равен 15 градусов, угол ACD также равен 15 градусам.

Так как углы BAC и ACD равны, то треугольник ABC равнобедренный. Значит, угол ABC составляет (180-15-15)/2 = 75 градусов.

Из этого следует, что угол BCD также равен 75 градусам.

Теперь можем найти площадь треугольника ABC:

S_ABC = (1/2) AB BC sin(75°) = (1/2) 4 BC sin(75°).

Из тригонометрических свойств синуса 75 градусов мы можем выразить его через синус 15 градусов:

sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = (√2/2 √3/2) + (√2/2 1/2) = (√6 + √2) / 4.

Таким образом:

S_ABC = (1/2) 4 BC ((√6 + √2) / 4) = 2 BC (√6 + √2) / 4 = BC (√6 + √2) / 2.

Теперь зная, что AB = 4 и BC = AD, мы можем найти AD по теореме Пифагора в треугольнике ABC:

AD^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + BC^2.

Так как AD = BC, то:

2 * BC^2 = 16,

BC^2 = 8.

Отсюда:

BC = AD = √8 = 2√2.

Теперь можем найти площадь параллелограмма ABCD:

S_ABCD = 2 S_ABC = 2 AD (sqrt(6) + sqrt(2)) / 2 = AD (sqrt(6) + sqrt(2)) = 2√2 * (√6 + √2) = 2√12 + 2√2 = 2√4√3 + 2√2 = 4√3 + 2.
Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна 4√3 + 2.