Задача по олипиаде по математике Как вычислить длину дуги кривой {x=7cos^3t π/2 ≤ t ≤ π
{y=7sin^3t

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы вычислить длину дуги кривой, можно воспользоваться формулой из курса математического анализа:

L = ∫√(x'^2 + y'^2) dt, где a ≤ t ≤ b.

Для данной кривой у нас есть параметрические уравнения:
x = 7cos^3(t)
y = 7sin^3(t)

Чтобы найти производные x и y по t, нужно вначале найти производные cos^3(t) и sin^3(t):
(cos^3(t))' = -3sin(t)cos^2(t)
(sin^3(t))' = 3cos(t)sin^2(t)

Теперь вычисляем производные x и y:
x' = -21sin(t)cos^2(t)
y' = 21cos(t)sin^2(t)

Теперь подставляем найденные производные в формулу для длины дуги:
L = ∫√((-21sin(t)cos^2(t))^2 + (21cos(t)sin^2(t))^2) dt
L = ∫√(441sin^2(t)cos^4(t) + 441cos^2(t)sin^4(t)) dt
L = ∫√(441sin^2(t)cos^2(t)(cos^2(t) + sin^2(t))) dt
L = 21∫√(cos^2(t)sin^2(t)) dt
L = 21∫sin(t)cos(t) dt

Теперь проводим интегрирование и находим значение длины дуги кривой для заданных пределов от π/2 до π.