Задача с производной Из квадратного листа жести со стороной 3 метра надо изготовить бак с квадратным основанием без крышки наибольшего объема. Решить через производную

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длина стороны основания бака равна x метрам. Тогда его объем V(x) равен:

V(x) = x^2 * h

где h - высота бака.

Задача сводится к поиску максимума функции V(x) при ограничении, что периметр основания бака равен периметру листа жести, то есть 4x = 12, откуда x = 3.

Таким образом, нам нужно найти максимум функции V(x) = 3x^2 при ограничении x = 3.

Дифференцируем функцию V(x):

V'(x) = 6x

Находим стационарную точку, приравнивая производную к нулю:

6x = 0
x = 0

Очевидно, что x = 0 не подходит, так как сторона бака должна быть положительной. Таким образом, максимум функции V(x) достигается при x = 3.

Итак, бак с квадратным основанием без крышки наибольшего объема будет иметь сторону 3 метра.