Диагональ BD
прямоугольника ABCD
служит боковой стороной равнобедренного треугольника BDE(BD=BE)
Диагональ BD
прямоугольника ABCD
служит боковой стороной равнобедренного треугольника BDE(BD=BE)
. Площадь этого треугольника равна площади прямоугольника. Найти наименьшее возможное значение угла в градусах между диагоналями прямоугольника, если известно, что ∠CBE=54∘

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку треугольник BDE равнобедренный и BD=BE, тогда угол BDE равен углу BED. Также, из условия известно, что угол CBE равен 54 градусам.
Поскольку площадь треугольника BDE равна площади прямоугольника ABCD, то BDBE/2=ABBC. Поскольку BD=BE, то BD^2=ABBC.
Следовательно, AB=BDcos(CBE) и BC=BDsin(CBE).
AB=BDcos(54)=BDcos(54)
BC=BDsin(54)
Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна BD^2sin(54)cos(54), что равно площади треугольника BDE, т.е. BD^2sin(54)cos(54)=BD^2/2.
Отсюда sin(54)*cos(54)=1/2. Следовательно, sin(108)/2=1/2.
Отсюда sin(108)=√2/2.
Из этого следует, что угол BAC равен 36 градусов.
Таким образом, наименьшее возможное значение угла между диагоналями прямоугольника равно 90-36=54 градусам.