Имеется восемь подмножеств множества N={1,2,3,…,n} , семь из которых синие, а одно --- красное....... Имеется восемь подмножеств множества N={1,2,3,…,n} , семь из которых синие, а одно --- красное. Известно, что красное подмножество не совпадает с N , а объединение красного подмножества с любым синим равно N .

Кроме того, известно, что объединение любых двух синих подмножеств не совпадает с N , а объединение любых трёх --- совпадает. При каком наименьшем n такое возможно?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте разберемся поэтапно:

Обозначим красное подмножество через R, а синие подмножества через B1, B2, ..., B7. Из условия мы знаем, что объединение красного и любого синего подмножества равно множеству N. Поэтому каждый элемент из N должен принадлежать либо красному, либо одному из синих подмножеств.

По условию, объединение любых двух синих подмножеств не равно N, а объединение любых трех синих подмножеств равно N. Это значит, что каждый элемент из N принадлежит как минимум 3 синим подмножествам.

Теперь оценим количество элементов в синих подмножествах. Из пункта 2 следует, что каждый элемент из N принадлежит как минимум 3 синим подмножествам. Так как у нас в общей сложности 8 подмножеств, то общее количество элементов в синих подмножествах не может быть меньше, чем 3 * n. Так как у нас 7 синих подмножеств, то в каждом из них не меньше, чем n/7 элементов.

Мы также знаем, что красное подмножество не совпадает с N. Это значит, что в красном подмножестве должен остаться хотя бы один элемент. Поэтому у нас остается n-1 элемент в красном подмножестве. Таким образом, общее количество элементов в множестве N равно n-1 (в красном подмножестве) + 3 * n (в синих подмножествах).

Зная это, можем составить неравенство: n-1 + 3n >= n. Решаем его: n-1 + 3n >= n, 2n >= 1, n >= 1/2. Таким образом, наименьшее возможное значение n равно 2.

Итак, наименьшее значение n, при котором выполняются все условия, равно 2.