Задача по геометрии В треугольнике АВС LB = 30°. Вне треугольника АВС отмечены точки Ал и С1 так, что треугольники АВС, и ВСАт равносторонние, и точки А и Ал лежат по разные стороны от прямой ВС, а точки С и С1 - по разные стороны от прямой АВ. Оказалось, что А14 - биссектриса угла ВАС и СС1 = 10. Найти AB.
L-обозначение угла

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: ( \angle B = 30^\circ ), треугольник ( \triangle ABC ) равносторонний, ( \angle BAA_1 = \angle CAA_1 ), ( CC_1 = 10 ).

Так как треугольник ( \triangle ABC ) равносторонний, то ( \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ ).
Также, так как ( \angle BAA_1 = \angle CAA_1 ), то ( \angle BAC = \angle CAB = 30^\circ ).

Из условия ( CC_1 = 10 ) следует, что треугольник ( \triangle ACC_1 ) равносторонний и ( AC = AC_1 = 10 ).

Также, так как ( \angle BAC = 30^\circ ), то угол ( \angle BAA_1 = \angle ABA = 30^\circ ), и треугольник ( \triangle ABA_1 ) равнобедренный.

Из равнобедренности треугольника ( \triangle ABA_1 ) следует, что ( \angle AAB = \angle ABA_1 = 75^\circ ).
Так как ( \angle A = 60^\circ ), то ( \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle AAB = 45^\circ ).

Из угла ( \angle B = 45^\circ ) и равенства сторон ( AB = AC_1 = 10 ) следует, что треугольник ( \triangle ABC_1 ) прямоугольный и равнобедренный.

По теореме Пифагора в прямоугольном равностороннем треугольнике с катетом равным 10 находим гипотенузу:
( AB = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} ).

Итак, ( AB = 10\sqrt{2} ).