Вопрос по алгебре Когда свободный член квадратного трёхчлена умножили на 8
, его дискриминант также умножился на 8

Какой наименьший корень может иметь получившийся трёхчлен, если один из корней исходного трёхчлена равен
?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть исходный трёхчлен имеет вид
[ax^2 + bx + c
Тогда его дискриминант будет равен
[D = b^2 - 4ac]

Если свободный член (c) умножить на 81, то получим новый трёхчлен
[ax^2 + bx + 81c
Дискриминант этого трёхчлена будет равен
[D' = b^2 - 4a \cdot 81c = b^2 - 324ac]

Мы знаем, что один из корней исходного трёхчлена равен 4. Значит, это корень удовлетворяет уравнению
[a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + c = 0
[16a + 4b + c = 0
[c = -16a - 4b]

Таким образом, новый трёхчлен представим в виде
[ax^2 + bx - 81(16a + 4b) = ax^2 + bx - 1296a - 324b]

Так как дискриминант нового трёхчлена умножился на 81, то
[D' = D \cdot 81
[b^2 - 324ac = (b^2 - 4ac) \cdot 81
[b^2 - 324a \cdot (-16a - 4b) = (b^2 - 4a \cdot (-16a - 4b)) \cdot 81
[b^2 + 5184a + 1296b = (b^2 + 64a + 16b) \cdot 81]

Разложим полученное уравнение относительно (b) и найдем его наименьшее значение
[b^2 + 5184a + 1296b = 81b^2 + 5184a + 1296b
[(81 - 1)b^2 + (1296 - 1296)b = 0
[80b^2 = 0
[b = 0]

Таким образом, наименьший корень нового трёхчлена равен 0.