Окружности Γ1 и Γ2 с радиусами 961 и 625 и центрами O1 и O2 соответственно пересекаются в точках A и B. Третья окружность Γ3 с центром O3 касается внешним образом окружностей Γ1 и Γ2. Прямая AB пересекает окружность Γ3 в точках P и Q так, что ∠P O3Q = 120◦ . Найдите O1O2.

21 Окт 2023 в 02:25
7 +1
0
Ответы
1

Поскольку окружности Γ1 и Γ2 касаются внешним образом окружности Γ3, то O3 является серединой дуги AB на окружности Γ3. Из условия задачи следует, что ∠P O3Q = 120◦ и, таким образом, дуга PQ равна 240◦. Так как O3 является серединой дуги AB, то центр окружности Γ3 O3 находится на серединном перпендикуляре к AB в точке, где PQ делит окружность на дуги 240◦ и 120◦.

Теперь заметим, что треугольник O1O2O3 равнобедренный, поскольку O1O2 = O2O3 из условия задачи. Угол между O1O2 и O2O3 равен 120◦, так как это угол, образуемый дугой AB и окружностями Γ1 и Γ2.

Теперь рассмотрим треугольник O1O2O3. Так как O1O2 = O2O3, а угол между O1O2 и O2O3 равен 120◦, то треугольник O1O2O3 является равнобедренным с углом при O1 равным 120◦. Таким образом, угол O1O3 равен 30◦.

Теперь рассмотрим треугольник O1O3P. Так как O1P = O3P и ∠O1O3P = 30◦, то треугольник O1O3P равнобедренный. Следовательно, угол O1P равен 75◦ и, так как O3 это середина дуги PQ, угол OP равен 37,5◦.

Из правильного треугольника O1OB следует, что угол O1O2 равен 60°. Следовательно, ∠O1O1O2 = 30°.

Обратимся к треугольнику O1O3P. Из равнобедренности его сторон O1P и O3P следует, что ∠O1PO3 = ∠P и равен 75°. Получается, что угол PO1 равен 15°. Так как O1O2 и O1O3 являются радиусами одной окружности, то угол O1O3O2 равен 180° - ∠PO1O3 или 90°.

Итак, O1O2 = O1O3 = 961 |sin 30° | = 961/2 = 480,5.

16 Апр в 15:53
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 87 327 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир