Окружности Γ1 и Γ2 с радиусами 961 и 625 и центрами O1 и O2 соответственно пересекаются в точках A и B. Третья окружность Γ3 с центром O3 касается внешним образом окружностей Γ1 и Γ2. Прямая AB пересекает окружность Γ3 в точках P и Q так, что ∠P O3Q = 120◦ . Найдите O1O2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку окружности Γ1 и Γ2 касаются внешним образом окружности Γ3, то O3 является серединой дуги AB на окружности Γ3. Из условия задачи следует, что ∠P O3Q = 120◦ и, таким образом, дуга PQ равна 240◦. Так как O3 является серединой дуги AB, то центр окружности Γ3 O3 находится на серединном перпендикуляре к AB в точке, где PQ делит окружность на дуги 240◦ и 120◦.

Теперь заметим, что треугольник O1O2O3 равнобедренный, поскольку O1O2 = O2O3 из условия задачи. Угол между O1O2 и O2O3 равен 120◦, так как это угол, образуемый дугой AB и окружностями Γ1 и Γ2.

Теперь рассмотрим треугольник O1O2O3. Так как O1O2 = O2O3, а угол между O1O2 и O2O3 равен 120◦, то треугольник O1O2O3 является равнобедренным с углом при O1 равным 120◦. Таким образом, угол O1O3 равен 30◦.

Теперь рассмотрим треугольник O1O3P. Так как O1P = O3P и ∠O1O3P = 30◦, то треугольник O1O3P равнобедренный. Следовательно, угол O1P равен 75◦ и, так как O3 это середина дуги PQ, угол OP равен 37,5◦.

Из правильного треугольника O1OB следует, что угол O1O2 равен 60°. Следовательно, ∠O1O1O2 = 30°.

Обратимся к треугольнику O1O3P. Из равнобедренности его сторон O1P и O3P следует, что ∠O1PO3 = ∠P и равен 75°. Получается, что угол PO1 равен 15°. Так как O1O2 и O1O3 являются радиусами одной окружности, то угол O1O3O2 равен 180° - ∠PO1O3 или 90°.

Итак, O1O2 = O1O3 = 961 |sin 30° | = 961/2 = 480,5.