Сколькими способами можно разложить 78 одинаковых шариков по трём ящикам так, чтобы ни в каких двух ящиках не было одинакового количества шариков? (В любом ящике должен быть хотя бы один шарик. Порядок ящиков значения не имеет

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим количество шариков в первом, втором и третьем ящиках соответственно через (x), (y) и (z). Тогда по условию задачи имеем систему уравнений:

[x + y + z = 78
[x \neq y, y \neq z, x \neq z]

Для начала посчитаем количество способов, не учитывая ограничения (x \neq y, y \neq z, x \neq z). Это классическая задача о разложении 78 одинаковых шариков по трем ящикам, которая решается с применением "Шаров и перегородок". По формуле сочетаний с повторениями задача имеет ({{78+3-1}\choose{3-1}} = {{80}\choose{2}} = \frac{80 \cdot 79}{2} = 3160) способов.

Теперь необходимо вычесть недопустимые варианты, в которых хотя бы два ящика содержат одинаковое количество шариков. Посмотрим на три случая:

(x = y). В этом случае у нас останется уравнение (2x + z = 78), где (x) и (z) не могут быть равны из-за ограничений. Это уравнение имеет (\left\lfloor \frac{78}{2} \right\rfloor = 39) решений. Для каждого из этих решений у нас есть 3 способа выбрать, какому ящику будет соответствовать одинаковое количество шариков. Таким образом, (39 \cdot 3 = 117) недопустимых вариантов.

(y = z). Аналогично, будем иметь (2y + x = 78) с (\left\lfloor \frac{78}{2} \right\rfloor = 39) решениями, каждое из которых может быть выбрано для 3-х вариантов. Таким образом, еще 117 недопустимых вариантов.

(x = z). Ситуация аналогична первым двум. Имеем (2x + y = 78) и также получаем 117 недопустимых вариантов.

Общее количество возможных вариантов равно исходному числу способов минус эти три случая, и получаем:

[3160 - 117 \cdot 3 = 3160 - 351 = 2809]

Таким образом, имеется 2809 способов разложить 78 одинаковых шариков по трём ящикам так, чтобы ни в каких двух ящиках не было одинакового количества шариков.