Через середину диагонали BD параллелограмма ABCD проведена прямая пересекающая стороны AB и CD в точках M и N соответственно. Докажите, что четырёхугольник MBND - параллелограмм.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Возьмем отрезок BM и отложим от него отрезок BD. Тогда, так как BD - медиана параллелограмма ABCD, она делит сторону AC пополам, то есть AM = MC и DN = NC.

Также, по условию, BC || AD и MD - биссектриса угла AMN, а ND - биссектриса угла DNM. Тогда у нас есть два равных треугольника: △DNE и △DMB (по стороне DM, общей стороны DN = NE и углу DEN = DMB). Следовательно, DE = MB.

Теперь построим векторы:
=> ND = MC (как обозначено выше)
=> ND + MC = 0
=> DC + CM = 0

Но DC = BM (параллелограмм), таким образом, BM + CM = 0
Следовательно, BM = -MC.

Таким образом, MB || ND и MB = ND, то есть MBND - параллелограмм.